Cálculo integral em R

2. (a) Tem-se
1.6. INTEGRAL INDEFINIDO
em todos os pontos onde f(x) é contínua e tem-se F ′ (x) = f(x). Portanto F(x)
é derivável em cada um dos intervalos 3 [0,1[, ]1,3[ e ]3,4]. Resta analisar se F é
derivável em x = 1 e x = 3. Tem-se,
F ′ e (1) = lim
x→1− f(x) − f(1)
=
x − 1
2x − 2
= 2.
x − 1
F ′ d (1) = lim
x→1 +
f(x) − f(1)
=
x − 1
2 − 2
= 0.
x − 1
Como F ′ e (1) = F ′ d (1), não existe F ′ (1). Analogamente tem-se,
F ′ e(3) = lim
x→3− f(x) − f(3)
=
x − 1
2 − 2
= 0.
x − 3
F ′ d (3) = lim
x→3 +
f(x) − f(3)
=
x − 3
−x + 5 − 2
= −1.
x − 3
Como F ′ e(3) = F ′ d (3), também não existe F ′ (3). Em resumo,
F ′ ⎧
⎨ 2, 0 ≤ x < 1,
(x) = 0, 1 < x < 3,
⎩
−1, 3 < x ≤ 4.
A situação descrita atrás pode ser facilmente constatada na seguinte figura.
y
f(x)
2 2
1 3 4
Pontos de descontinuidade de f(x)
F( √ π) =
( √ π) 2 + π
2
0
1
y
F(x)
x x
1 3 4
Nestes pontos F(x) não é derivável
sin 2
t dt =
3
2 π
0
sin 2 t dt.
Usando a fórmula trignométrica n o 12 da tabela das primitivas,
sin 2 x = 1
(1 − 2cos 2x),
2
3 Recordemos que F(x) é derivável nos extremos x = 0 x = 3 pois existem F ′ d(0) = f(0) = 2 e F ′ e(3) = f(3) = 1.
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 35