Cálculo integral em R

1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO
Teorema 1.7.6 (2 o Critério de comparação) Sejam f,g : [a,+∞[→ R duas funções integráveis
em qualquer intervalo da forma [a,z], z > a, tais que f(x),g(x) ≥ 0 para todo o x ∈ [a,+∞[.
Suponhamos ainda que
Então
+∞
a
Exemplo
f(x)dx e
+∞
Pretende-se determinar a natureza de
Vamos tentar comparar
a
f(x)
∃ lim
x→+∞ g(x)
= λ = 0,+∞.
g(x)dx têm ambos a mesma natureza.
+∞
vergente (α = 1). Note que sin 1
x
propriedades do limite, temos
1
lim
x→+∞
+∞
1
sin 1
x dx.
sin 1
dx com o integral de Dirichelet
x
sin 1
x
1
x
> 0, uma vez que 1
x
= lim
y= 1
x →0+
siny
y
Logo resulta do 2 o critério de comparação que
portanto que
Exercícios
+∞
1
sin 1
dx é também divergente.
x
1. Calcule os seguintes integrais impróprios:
(a)
(b)
+∞
0
0
−∞
xe −x dx.
dx
(x − 1) 2.
2. Estude a natureza dos seguintes integrais:
(a)
+∞
1
x + 4
dx.
ex
+∞
1
+∞
1
dx
, que sabemos ser di-
x
< π, para todo o x ≥ 1. Ora, pelas
= 1 = λ = 0,+∞.
sin 1
dx e
x
+∞
1
dx
x
têm a mesma natureza e
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 45