Cálculo integral em R

se e somente se existir e for finito o limite
Ora,
Assim o integral
2
1
lim
z→1 +
2
z
lim
z→1 +
2
z
dx
√ x − 1 .
dx
√ x − 1 = lim
z→1 +
= lim
z→1 +
2
dx
√ x − 1 é convergente de valor 2.
z
1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO
(x − 1) −1
2 dx
(x − 1) 1
2
1
2
2
= 2 lim
z→1 +[1 − √ z − 1] = 2.
2. Vamos aplicar o 1 o critério de comparação, (i). A função 1
√ x+2x tem uma assímptota
vertical no ponto x = 0 + . Como 0 < x, temos a desigualdade √ x + 2x > √ x e portanto
1
dx
√ é um integral de Dirichelet convergente (pois α =
x
√ 1 < x+2x 1 √ . Como o integral
x
1
2 < 1), também o integral
1
0
0
dx
√ x + 2x é convergente.
3. Vamos aplicar o 2o 1
critério de comparação. No intervalo ]1,2] a função
x √ tem apenas
x−1
uma assímptota vertical no ponto x = 1 + . Ora
lim
x→1 +
1
x √ x−1
1
√ x−1
= lim
x→1 +
1
x
Logo pelo 2 o critério de comparação os integrais
2
1
dx
x √ x − 1
e
z
= 1 = λ = 0,1.
2
1
dx
√ x − 1
têm a mesma natureza e portanto são ambos convergentes (ver o exemplo 1.).
4. No intervalo ]0,π[ a função 1
sinx
x = 0 + e outra em x = π − . Por definição o integral
é positiva e tem duas assímptotas verticais, uma no ponto
π
dx
é convergente se e somente
sinx
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 49
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