Cálculo integral em R

Uma vez que P 1
(x−1) 2 = P(x − 1) −2 = −(x − 1) −1 obtemos
0
−2
x + 10
(x − 1) 2dx =
=
0
−2
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL
1
x − 1 −
11
(x − 1) 2
dx
log |x − 1| − 11
x − 1
0
−2
= log 1 + 11 − log 3 − 11
3
= 22
3
− log 3.
12. A função R(x) = 2x+3
x2 +2 é uma função racional própria cujo denominador não admite raízes
reais (apenas tem raízes complexas simples). Nestes casos decompomos R(x) da seguinte
forma:
2x + 3
x2 2x
=
+ 2 x2 3
+
+ 2 x2 + 2 .
A primeira parcela tem primitiva imediata P 2x
x2 +2 = log |x2 + 2| uma vez que é da forma
P = log |f|. Quanto à segunda parcela tem primitiva (quase) imediata. Senão vejamos:
f ′
f
pois é da forma P
√ 2
0
P
3
x 2 + 2
3
= P
x2 2 2 + 1
= 3√ 2
2 P
1√ 2
2 x√2 + 1
= 3√ 2
2 arctg x √ 2 ,
f ′
1+f 2 = arctg f com f(x) = x √ 2 . Donde
2x + 3
x2 dx =
+ 2
13. A função R(x) = 3x3 +2
x+3
√ 2
0
2xdx
x 2 + 2 +
log |x 2 + 2|
√ 2
0
√ 2
3dx
x 2 + 2
arctg x
√
2
√ 2
=
0 + 3√2 2
0
= log 4 − log 2 + 3√ √
2 2
arctg√2
− arctg 0
2
= log 2 + 3√2π .
8
. Trata-se de uma função racional imprópria pois o grau do
denominador é inferior ao grau do numerador. Dividindo os polinómios podemos escrever
R(x) como uma soma de um polinómio com uma função racional própria (outro processo
seria utilizando a regra de Ruffini com a raíz x = −3):
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 12