Cálculo integral em R

Como X(t) é uma função contínua podemos mostrar que
lim
n→∞ Xn = Xmed = 1
b − a
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL
b
a
X(t)dt.
Por esta razão designamos Xmed o valor médio da variável X em [a,b] e que corresponde à
noção intuitiva de média quando passamos do caso discreto de n observações para o caso de uma
observação X(t) a depender continuamente de t. O teorema da média, enunciado a seguir, vai
garantir que existe pelo menos um instante t0 tal que X(t0) foi igual ao valor médio Xmed. Note
que no caso discreto este resultado é falso, ou seja, a média de n observações não corresponde
necessariamente a nenhum dos valores observados.
Definição 4 Seja f : [a,b] → R uma função integrável. Chamamos valor médio de f em [a,b] a
fmed = 1
b − a
b
a
f(x)dx.
Teorema 1.5.1 (Teorema da média) Se f : [a,b] → R é uma função contínua, existe c ∈ [a,b]
tal que f(c) = fmed, ou seja,
f(c)
y
b
a b
Possíveis valores de c
a
f(x)dx = f(c)(b − a).
f(x)
x
Dem: Como f é contínua em [a,b] existem t0,t1 ∈ [a,b] tais que m = minf = f(t0) e M =
maxf = f(t1) (teorema de Weierstrass). Como
temos
m(b − a) =
b
a
f(c)
m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a,b]
m dx ≤
b
a
y
a
f(x)dx ≤
Dividindo por b − a e atendendo ao facto que fmed = 1
b − a
m ≤ fmed ≤ M.
b
a
b
a
f(x)
b
x
M dx = M(b − a).
f(x)dx vem
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 28