Cálculo integral em R

Exercícios
obtemos
(b) Tomamos y = x 2 + π
2
3
2 π
0
sin 2 (t)dt =
3
2 π
0
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL
1
(1 − 2cos 2t)dt
2
= 1
3
2
t − sin 2t
2
π 3
=
0 4 π.
. Podemos considerar F(x) como uma função composta,
y
F(x) = G(y(x)) onde G(y) = sin2 (t)dt, y ∈ R. Pelas propriedades do integral
0
indefinido, corolário 1.6.3, como a função integranda sin2 t é contínua em I = R,
y
G(y) =
sin
0
2 (t)dt é derivável em R e tem-se G ′ (y) = sin2 (y) para todo o y ∈ R.
Ora, pelo teorema da derivada da função composta temos
1. Considere a função
F ′ (x) = (G ◦ y) ′ (x) = G ′ (y(x)) · y ′ (x)
2
= sin x 2 + π
· x
2
2 + π
′
2
⎧
⎨ 1 − x, 0 ≤ x < 1,
f(x) = 0, 1 ≤ x < 2,
⎩
(2 − x) 2 , 2 ≤ x ≤ 3.
(a) Determine uma expressão analítica para F(x) =
2
= 2x sin x 2 + π
.
2
x
f(t)dt
(b) Indique o valor médio de f(x) em [0,3] e determine o(s) ponto(s) onde f(x) atinge
esse valor.
2. Seja f uma função contínua em [1,+∞[ tal que
(a) Determine, justificando, f(x).
(b) Mostre sem calcular o integral que
9
4
x
1
0
f(t)dt = e √ x ( √ x − 1).
f(t)dt = 2e 3 − e 2 .
3. Considere a função ϕ :]0,+∞[→ R definida por ϕ(x) =
(a) Determine ϕ(2).
(b) Justifique que ϕ é derivável e calcule ϕ ′ (x), x > 0.
x
1
t log t
(1 + t2 dt.
) 2
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 36