Cálculo integral em R

1.7 Integral impróprio
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL
O integral impróprio pretende estender a noção de integral a domínios não limitados e/ou de
funções não limitadas. Por exemplo, o que é que podemos dizer sobre os integrais
+∞
0
e −x dx e
1
0
dx
x ?
O primeiro destes integrais corresponde à área abaixo do gráfico de e−x definida no intervalo
não limitado [0,+∞[, e o segundo corresponde à área abaixo do gráfico da função não limitada
, definida no intervalo ]0,1].
1
x
y = e −x
y y
R ∞
0 e−x dx
R 1
0
dx
x
y = 1
x
x x
1
Vamos abordar em primeiro lugar o integral de funções limitadas em domínios não limitados.
+∞
Para estudar o integral e−x dx vamos considerar o integral no intervalo [0,z] e investigar se
0
existe o limite deste integral quando z → +∞. Ora,
z
lim A(z) = lim
z→+∞ z→+∞
0
Uma vez que este limite existe e é finito vamos dizer que
e −x −x
dx = lim −e
z→+∞
z = lim 0 z→+∞ −e−z − (−1) = 1.
de valor 1. A definição de integral impróprio no caso geral vai ser análoga.
+∞
0
e −x dx é um integral convergente
Definição 6 Seja f : [a,+∞[→ R uma função integrável em qualquer intervalo da forma [a,z]
+∞
com z > a. Dizemos que f(x)dx é convergente se existe e é finito
Nessa altura tomamos
+∞
a
a
f(x)dx = lim
lim
z
z→+∞
a
z
z→+∞
a
f(x)dx.
f(x)dx. Se o integral não é convergente, dizemos
que é divergente. Estudar a natureza de um integral impróprio consiste em saber se ele é
convergente ou divergente.
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 38