Cálculo integral em R

Apêndice: A regra de Cauchy
1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO
Um resultado “maravilhoso” no cálculo de limites é a chamada regra de Cauchy enunciada a
seguir:
Teorema 1.7.8 Sejam f,g duas funções deriváveis num intervalo aberto I de extremidade a (a
pode ser −∞ ou +∞) tal que g ′ (x) = 0 para todo o x ∈ I. Admitamos ainda que
Então
Exemplos
∃ lim
x→a f(x) = lim
x→a g(x) = 0 (ou ∞) e que ∃ lim
x→a
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′ (x)
g ′ (x) .
f ′ (x)
g ′ (x) .
1. A maior parte dos limites notáveis pode ser recuperada com recurso à regra de Cauchy:
sin x
(a) lim
x→0 x
0
0 cos x
= lim
x→0 1
= 1.
e
(b) lim
x→0
x − 1
x
0
0 e
= lim
x→0
x
= 1.
1
cos x − 1
(c) lim
x→0 x
0
0 − sinx
= lim = −1.
x→0 x
e
(d) Queremos calcular lim
x→+∞
x
com p um número inteiro positivo. Aplicando sucessive-
xp mente a regra de Cauchy obtemos
arctg x −
2. lim
x→1
π
4
x2 − 1
log x
3. lim
x→+∞ x
0
0
= lim
x→1
∞ 1
∞ x = lim
x→+∞ 1
1
1+x 2
2x
lim
x→+∞
= 1
4 .
e x
x p
1
= lim = 0.
x→+∞ x
4. Se a indeterminação não for do tipo 0
0
de um daqueles dois tipos:
0
0
= lim
x→+∞
0
0
= lim
x→+∞
0
0
= · · ·
0
0
= lim
x→+∞
e x
p x p−1
e x
p(p − 1)x p−2
e x
p!
= +∞.
∞ ou ∞ , é possível transformá-la numa indeterminação
(a) Indeterminação do tipo ∞ · 0: transformamos numa indeterminação 0
0
uma relação do tipo f · g = f
.
1
g
∞ (ou ∞ ) usando
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 53