Cálculo integral em R

Capítulo 1
Cálculo integral
1.1 Integral de Riemann
Seja f : I = [a,b] → R uma função contínua tal que f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a,b]. Pretendemos
determinar a área da região delimitada pelo eixo dos xx e o gráfico de f, que designamos por A.
Comecemos por calcular a área aproximada utlizando regiões cujas áreas conhecemos.
Pelo teorema de Weierstrass, toda a função contínua num intervalo fechado e limitado tem
máximo e mínimo nesse intervalo. Seja m = min{f(x) : x ∈ [a,b]} e M = max{f(x) : x ∈
[a,b]}. Claramente a área A é limitada inferiormente por S 0 = m(b − a) e superiormente por
S0 = M(b − a), i.e.,
S 0 = m(b − a) ≤ A ≤ S0 = M(b − a).
m
y
a b
x
y
a b
x
M
y
a b
Podemos tentar melhorar a aproximação ao valor de A, subdividindo o intervalo [a,b] em dois
sub-intervalos [a,c] e [c,b] onde c ∈]a,b[ é um ponto arbitrário. Designamos por
Claramente temos
m1 = min{f(x) : x ∈ [a,c]}, m2 = min{f(x) : x ∈ [c,b]},
M1 = max{f(x) : x ∈ [a,c]} M2 = max{f(x) : x ∈ [c,b]}.
S 0 ≤ S 1 = m1(c − a) + m2(b − c) ≤ Área ≤ S1 = M1(c − a) + M2(b − c) ≤ S0,
conforme está representado na seguinte figura.
1
x