Cálculo integral em R

1.2. FÓRMULA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL.
3x 3 + 0x 2 + 0x + 2 x + 3
− 3x 3 − 9x 2
−
9x 2
+ 0x
9x 2 + 27x
27x + 2
−27x
− 81
− 79
Donde resulta que 3x3 +2
x+3 = 3x2 − 9x + 27 − 79
x+3 . Assim
2
−2
3x3 + 2
dx =
x + 3
2
−2
3x 2 − 9x + 27
3x 2 − 9x + 27 − 79
dx
x + 3
=
x 3 − 9
2 x2 + 27x − 79log |x + 3|
−2
= 8 − 18 + 54 − 79log 5 − (−8 − 18 − 54 − 79log 1)
= 132 − 79log 5.
14. Recordemos a fórmula de primitivação por substituição. Seja x = x(t) uma função derivável
e invertível, e t = t(x) a correspondente inversa. Então
Pf(x) = Pf(x(t)).x ′ (t)| t=t(x).
Vamos fazer a substituição t = ex . Então x = log t e x ′ = 1
t . Assim
P e2x
e x + 4
t2
= P
t + 4 .1
t
t=ex = P t
t + 4
= P
t=ex
= P 1 − 4
t + 4
= t − 4 log |t + 4|
t=e x
= e x − 4 log(e x + 4).
t + 4 − 4
t + 4
t=e x
2
t=e x
15. Vamos fazer a substituição t = √ x. Então x = t 2 e x ′ = 2t. Assim
P cos √ x = P cos t.2t| t= √ x
por partes
= sin t .2t − 2P sint| t= √ x
= 2t sin t + 2 cos t| t= √ x
= 2 √ xsin √ x + 2 cos √ x.
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 13