Cálculo integral em R

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se forem convergentes ambos os integrais a 0 CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL dx sin x e π a dx , com a ∈]0,π[ um ponto sin x arbitrário. Podemos tomar, por exemplo, a = π 2 . Temos então que estudar a natureza dos integrais π 2 0 dx sin x e π π 2 dx sin x . Vamos aplicar o 2 o critério de comparação no estudo do primeiro destes integrais. Tem-se, Logo o integral π 2 0 dx sin x lim x→0 + 1 sin x 1 x = lim x→0 + x sin x = 1 = λ = 0,1. tem a mesma natureza que o integral tem a mesma natureza que o integral de Dirichelet divergente (pois α = 1), difere deste por um integral definido. De facto, Daqui resulta que finalmente que π 2 0 π 0 dx x = dx sin x 1 0 dx x + π 2 1 é divergente. dx x . π 2 0 dx . Este último integral x 1 0 dx , pois x 1 5. No intervalo ]0,1[ a função √ é positiva e tem duas assímptotas verticais, uma no x(1−x) ponto x = 0 + e outra em x = 1 − . Por definição o integral e somente se forem convergentes ambos os integrais a 0 1 0 dx x(1 − x) é convergente se dx x(1 − x) e 1 a dx x(1 − x) , com a ∈]0,1[ um ponto arbitrário. Podemos tomar, por exemplo, a = 1 2 . Temos então que estudar a natureza dos integrais 1 2 0 dx x(1 − x) Vamos aplicar o 2 o critério de comparação. Tem-se, lim x→0 + √ 1 x(1−x) 1 √ x = lim x→0 + e 1 1 2 √ x √ x √ 1 − x = lim x→0 + dx x(1 − x) . 1 √ 1 − x = 1 = λ = 0,1. ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 50
Logo o integral 1 2 0 dx x(1 − x) tem a mesma natureza que o integral 1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO 1 2 0 dx √ x . Este último integral tem a mesma natureza que o integral de Dirichelet convergente (pois α = 1 2 < 1 dx 1), √ , pois difere deste por um integral definido. Daqui resulta que finalmente que x 1 2 0 0 dx x(1 − x) é convergente. Analogamente se mostra que o integral 1 gral convergente (ver a resolução do exercício 1.) convergente. Como ambos os integrais são convergentes, também Exercícios 1 2 0 1 0 dx x(1 − x) 1 2 dx x(1 − x) tem a mesma natureza que o inte- e 1 1 2 1 dx x(1 − x) é convergente. 1. Determine a natureza dos seguintes integrais impróprios (a) (b) (c) (d) 1 0 π 2 0 6 2 2 1 dx (2 − x) √ x . dx cos x . dx (4 − x) 2 3 dx x 1 3 − 1 . . 0 dx √ 1 − x , e portanto que também é dx x(1 − x) , ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 51
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