Cálculo integral em R

O perímetro da semi-circunferência é dado por
r
r
1 + [y ′ ] 2 dx = 1 +
−r
=
=
−r
r
−r
r
−r
= r
1.3. APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL
2 −x
√ dx
r2 − x2 1 + x2
r2 dx
− x2 r 2 − x 2 + x 2
r 2 − x 2 dx
r
−r
= r arcsin x
r
1
√ r 2 − x 2 dx
r
−r
π
= r
2 −
− π
2
= πr.
Logo o perímetro da circunferência é dado pela fórmula bem conhecida 2πr.
efectuámos a mudança de variável x = r sin t. Então
1
Para calcular uma primitiva de √
r2−x2 x ′ = r cos t e t = arcsin x
r . Assim
Exercícios
P
1
√ r 2 − x 2
=
=
r cos t
P
r2 − r2 2 sin t
x t=arcsin r
r cos t
P
r cos t
x t=arcsin r
=
=
P 1 | x t=arcsin r
t | x t=arcsin = arcsin
r
x
r .
1. Represente graficamente e calcule a área das seguintes regiões do plano:
(a) (x,y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2, −x 2 ≤ y ≤ √ x .
(b) (x,y) ∈ R 2 : −1 ≤ x ≤ 1, x 2 − 1 ≤ y ≤ arccos x .
2. Represente graficamente e calcule a área da região do plano delimitada por y = |x|, y =
−x 2 + 6 e y + x 2 = 2.
3. Calcular o volume do sólido de revolução obtido rodando y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 2, em torno do
eixo dos xx.
4. Calcular o volume do sólido obtido rodando a área delimitada pelas curvas y = √ x e
y = x
2 .
5. Calcule o volume da esfera de raio r.
6. Calcular o comprimento de arco do gráfico de f(x) = x2
4
1 − 2 log x entre x = 1 e x = 2.
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 21