Cálculo integral em R

m1
m2
y
S 1 (f)
y
≤ ≤
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL
x
x
a c b
a c b
a c b
Continuando este processo podemos determinar duas sucessões, uma crescente, S n(f), designada
por sucessão das somas inferiores de Darboux de f, e outra decrescente, Sn(f), designada por
sucessão das somas superiores superiores de Darboux de f, tais que
M2
M1
y
S1(f)
S 0(f) ≤ S 1(f) ≤ · · · ≤ S n(f) ≤ · · · ≤ A ≤ · · · ≤ Sn(f) ≤ · · · ≤ S1(f) ≤ S0(f).
Intuitivamente o valor da área A será o valor dos limites de ambas estas sucessões. Neste caso
dizemos que a função é integrável à Riemann e escrevemos b
f = f(x)dx = área A.
Exemplo
Pretendemos calcular
1
xdx. Calculando as somas inferiores e superiores de Darboux associadas
0
às partições representadas na seguinte figura e que foram obtidas dividindo sucessivamente a
meio cada um dos sub-intervalos anteriores obtemos a sucessão crescente
e a sucessão decrescente
Daqui resulta que
S0 = 0, S1 = 1
4 , S2 = 3
8 , S3 = 7
16 , ..., Sn = 2n − 1
2
I
a
n+1 , ...
S0 = 1, S1 = 3
4 , S2 = 5
8 , S3 = 9
16 , ..., Sn = 2n + 1
, ...
2n+1 1
0
xdx = lim
n→∞ Sn = lim
n→∞ Sn = 1
2 .
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 2
x