Cálculo integral em R

1.4. INTEGRAÇÃO POR PARTES E POR SUBSTITUIÇÃO
e t1 (ou seja, J = [t0,t1] ou J = [t1,t0] consoante t0 < t1 ou t1 < t0) e tal que ψ(t0) = a e
ψ(t1) = b. Então
b
a
f(x)dx =
t1
t0
f(ψ(t))ψ ′ (t)dt.
Dem: Seja F = P f. Pelo teorema da derivada da função composta,
(F ◦ ψ) ′ (t) = F ′ (ψ(t)) · ψ ′ (t) = f(ψ(t)) · ψ ′ (t).
Pela fórmula fundamental do cálculo integral temos,
Observações
t1
t0
f(ψ(t))ψ ′ (t)dt =
t1 (F ◦ ψ)(t)
t0
= (F ◦ ψ)(t1) − (F ◦ ψ)(t0)
= F(ψ(t1)) − F(ψ(t0))
= F(b) − F(a) =
1. Muitas vezes escreveremos x = x(t) no lugar de ψ(t).
b
a
f(x)dx.
2. Na maior parte das situações podemos optar por integrar uma função por substituição
ou primitivar essa função por substituição e calcular o valor da primitiva encontrada nos
extremos do domínio de integração. No entanto há situações em que podemos calcular o
integral sem ser necessário primitivar a função integranda (que até podemos não conhecer!).
É o caso, por exemplo, do integral de funções ímpares em certo tipo de domínios como
veremos mais adiante.
Exemplo
Pretende-se calcular
e x ′ (t) = ψ ′ (t) = 1
t
1
0
dx
1 + e x. Vamos efectuar a substituição t = ex . Então x(t) = ψ(t) = log t
. Quanto aos novos extremos de integração temos
x(t0) = a = 0
x(t1) = b = 1 ⇔
log t0 = 0
log t1 = 1 ⇔
t0 = 1
t1 = e
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 23