Cálculo integral em R

Dem:
Por definição
+∞
1
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL
dx
é convergente se e somente se existir e for finito o limite
xα lim
z→+∞
Para estudar este limite vamos considerar separadamente os casos α = 1, α > 1 e α < 1.
α = 1: neste caso a função integranda é 1
, que admite a primitiva log x. Assim
x
e portanto
+∞
1
dx
x
lim
z→+∞
z
1
dx
x
(α = 1) é divergente.
z
1
dx
x α.
z = lim log x = lim (log z − log 1) = +∞,
z→∞ 1 z→∞
α > 1: a função integranda é 1
xα = x−α que admite a primitiva x−α+1
. Assim
−α + 1
lim
z→+∞
z
1
dx x−α+1 = lim
xα z→∞ −α + 1
z
1
z−α+1 = lim
z→∞ −α + 1 −
1
=
−α + 1
1
α − 1 .
Note que lim
z→+∞ z1−α = 0 uma vez que 1 − α < 0.
α < 1: este caso é análogo ao anterior com a diferença que
pois 1 − α > 0. Assim
lim
z→+∞
z
1
lim
z→+∞ z1−α = +∞,
dx x−α+1 = lim
xα z→∞ −α + 1
e portanto o integral é divergente neste caso. .
z
1
z−α+1 = lim
z→∞ −α + 1 −
1
= +∞,
−α + 1
Vamos agora enunciar vários resultados para integrais impróprios da forma
+∞
a
f(x)dx. Estes
resultados são ainda verdadeiros, com as devidas alterações, para integrais impróprios da forma
a
f(x)dx. Os alunos são incentivados a reescrever os resultados com essas alterações.
−∞
O seguinte resultado vai-nos dizer essencialmente que a natureza de um integral impróprio não
se altera por adição de um integral definido.
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 40