Cálculo integral em R

O volume do cone é então dado por
z
V =
y
1
0
f(x)
1
1
π x 2
x3 dx = π
3
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL
1
0
x
= π
3 .
Vejamos por último como calcular o comprimento de arco (ou comprimento de linha) para
curvas definidas como gráficos de funções. Intuitivamente o comprimento de arco de uma função
f : [a,b] → R representa de o comprimento de uma linha de expessura nula sobreposta ao gráfico
de f entre os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) que posteriormente foi rectificada.
Teorema 1.3.3 Se f : [a,b] → R é uma função contínua em [a,b] e com derivada contínua em
]a,b[, o comprimento de arco de f(x) entre os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) é dado por
Exemplo
l(f) =
b
a
1 + [f ′ (x)] 2 dx.
Pretende-se calcular o perímetro de uma circunferência de raio r. Uma equação da circunferência
centrada na origem e raio um é x 2 + y 2 = r 2 . Esta circunferência determina duas
semi-circunferências, uma situada no semi-plano superior de equação y = √ r 2 − x 2 e outra situada
no semi-plano inferior de equação y = − √ r 2 − x 2 . O perímetro da cirunferência obtém-se
duplicando o comprimento de arco de y = √ r 2 − x 2 (por exemplo) entre os pontos (−r,0) e
(r,0) (ver a seguinte figura).
−r
y
r
y = √ r 2 − x 2
r
x
y = − √ r 2 − x 2
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 20