Cálculo integral em R

F(x)
11
2
1
2
y
y
1
f(x)
1 2
F(x)
2
x
x
3
3
x
x
1.6. INTEGRAL INDEFINIDO
No último exemplo pode-se constatar que o integral indefinido é uma função contínua, embora
f(x) não o seja. De facto, esta e outras propriedades, muito importantes são verificadas pelo
integral indefinido como vamos ver agora.
Teorema 1.6.1 Seja f : [a,b] → R uma função integrável e seja F(x) =
respectivo integral indefinido. Então são verificadas as seguintes propriedades:
(i) O integral indefinido é uma função contínua em [a,b].
x
f(t)dt, x ∈ [a,b], o
(ii) Se f(x) ≥ 0 [resp. f(x) ≤ 0] para todo o x então F(x) é uma função crescente [resp.
decrescente].
(iii) Se f(x) é uma função contínua em [a,b] então F(x) é uma função derivável em [a,b] e
tem-se F ′ (x) = f(x) para todo o x.
Observações
1. A propriedade (iii) significa que F(x) é uma primitiva de f(x) sempre que f(x) fôr uma
função contínua. De facto, F(x) é a única primitiva de f(x) que se anula no ponto x = a
a
(pois F(a) = f(t)dt = 0).
2.
a
É válida a seguinte propriedade mais forte que (iii): Se f(x) é uma função contínua em
x0 ∈ [a,b] então F(x) é uma função derivável em x0 e tem-se F ′ (x0) = f(x0).
Dem: Vejamos (i): seja x0 ∈ [a,b] um ponto arbitrário. Temos que mostrar que limx→x0 F(x) =
F(x0), ou seja, que limx→x0 F(x) − F(x0) = 0. Vamos mostrar que lim +
x→x F(x) − F(x0) = 0.
0
O caso lim −
x→x F(x) − F(x0) = 0 prova-se de maneira análoga. Ora, tem-se por definição de
0
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 31
a