Cálculo integral em R

y y
f(x)
1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO
R b
z f(x)dx
R z
a f(x)dx
x x
a ← z b a
z → b
f(x) tem uma assímptota vertical em x = a +
f(x)
f(x) tem uma assímptota vertical em x = b −
Analogamente ao caso dos integrais definidos em intervalos não limitados, também aqui vamos
considerar uma família muito importante de integrais impróprios 5 , designados novamente por
integrais de Dirichelet, e que são da forma
1
0
dx
x α,
α ∈ R
Temos o resultado análogo ao teorema 1 da lição anterior, cuja demonstração se deixa ao cuidado
do aluno mais entusiasta.
Teorema 1.7.7 O integral de Dirichelet
caso temos
1
0
1
0
dx
=
xα dx
é convergente se e somente se α < 1, e nesse
xα 1
1 − α .
Intuitivamente se α < 1 “o gráfico de 1
vai se aproximar suficientemente rápido do eixo dos
xα yy quando x → 0 + ” de modo a que a área da região delimitada pelo eixo dos yy e pelo gráfico
+∞
de f seja finita (confrontar com o integral de Dirichelet
5
Note que se α ≤ 0, a função
considerado um integral definido.
1
dx
x α).
1
x −α não tem assímptota em x = 0 + e em rigor o integral abaixo deve ser
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 47