Cálculo integral em R

1.4 Integração por partes e por substituição
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL
Vimos nas secções anteriores que para calcular os integrais necessitávamos muitas vezes de
primitivar a função integranda recorrendo à primitivação por partes e/ou por substituição. Estas
técnicas podem ser aplicadas directamente no integral a calcular passando a designar-se por
integração por partes e por substituição.
Teorema 1.4.1 (Integração por partes) Sejam f,G : [a,b] → R duas funções integráveis com
f primitivável e G derivável. Seja F : [a,b] → R uma primitiva de f. Então é válida a fórmula
b
a
f(x)G(x)dx =
b F(x)G(x)
a −
b
a
F(x)G ′ (x)dx.
Dem: Temos (FG) ′ = F ′ G + F G ′ = f G + F G ′ , ou seja, F G é uma primitiva de f G + F G ′ .
Logo pela fórmula fundamental do cálculo integral,
ou seja,
Exemplo
b F(x)G(x)
a =
=
b
b
f(x)G(x)dx = [F(x)G(x)]
a
b a −
b
a
Pretende-se calcular
1
−1
1
f
1
−1
arctg xdx. Ora,
.arctg x dx =
G
=
a
a
b
(f(x)G(x) + F(x)G ′ (x))dx
f(x)G(x)dx +
F(x)G ′ (x)dx.
x
F
1 .arctg x
G
−1 −
1 1
xarctg x −
−1 2
1
−1
a
b
1
−1
F(x)G ′ (x)dx,
x
F
.
2x
dx
1 + x2 = arctg 1 − (−1)arctg(−1) − 1
2
= π π
−
4 4
1
− (log 2 − log 2) = 0.
2
1
1 + x 2
G ′
dx
log(1 + x 2 1 )
−1
Teorema 1.4.2 (Integração por substituição) Seja f : [a,b] → R uma função contínua e primitivável.
Seja ψ : J → [a,b] uma função invertível e derivável num intervalo J de extremos t0
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 22