Cálculo integral em R

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Dem: Por definição +∞ 1 CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL dx é convergente se e somente se existir e for finito o limite xα lim z→+∞ Para estudar este limite vamos considerar separadamente os casos α = 1, α > 1 e α < 1. α = 1: neste caso a função integranda é 1 , que admite a primitiva log x. Assim x e portanto +∞ 1 dx x lim z→+∞ z 1 dx x (α = 1) é divergente. z 1 dx x α. z = lim log x = lim (log z − log 1) = +∞, z→∞ 1 z→∞ α > 1: a função integranda é 1 xα = x−α que admite a primitiva x−α+1 . Assim −α + 1 lim z→+∞ z 1 dx x−α+1 = lim xα z→∞ −α + 1 z 1 z−α+1 = lim z→∞ −α + 1 − 1 = −α + 1 1 α − 1 . Note que lim z→+∞ z1−α = 0 uma vez que 1 − α < 0. α < 1: este caso é análogo ao anterior com a diferença que pois 1 − α > 0. Assim lim z→+∞ z 1 lim z→+∞ z1−α = +∞, dx x−α+1 = lim xα z→∞ −α + 1 e portanto o integral é divergente neste caso. . z 1 z−α+1 = lim z→∞ −α + 1 − 1 = +∞, −α + 1 Vamos agora enunciar vários resultados para integrais impróprios da forma +∞ a f(x)dx. Estes resultados são ainda verdadeiros, com as devidas alterações, para integrais impróprios da forma a f(x)dx. Os alunos são incentivados a reescrever os resultados com essas alterações. −∞ O seguinte resultado vai-nos dizer essencialmente que a natureza de um integral impróprio não se altera por adição de um integral definido. ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 40
1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO Teorema 1.7.2 Seja f : [a,+∞[→ R uma função integrável em qualquer intervalo da forma [a,z], z > a. Seja b > a. Então, +∞ a f(x)dx e +∞ b f(x)dx, têm ambos a mesma natureza (ou seja, são ambos convergentes ou são ambos divergentes). A seguinte figura pretende ilustrar esta propriedade. Dem: Estas áreas são ambas finitas ou são ambas infinitas y y f(x) f(x) a b x a b x Pela aditividade do integral podemos escrever Assim, z a lim z→+∞ f(x)dx = z a b a f(x)dx + finito f(x)dx = lim z→+∞ z b b z f(x)dx. f(x)dx + C te . Logo se um dos limites existir e for finito o mesmo acontece ao outro. Exemplo Pretende-se determinar a natureza do integral Ora pelo teorema anterior o integral +∞ 1 dx . Como α = 2 > 1, x2 é convergente. +∞ 1 +∞ 5 +∞ 5 dx . x2 dx tem a mesma natureza que o integral de Dirichelet x2 dx é um integral convergente, e portanto o integral x2 +∞ 5 dx também x2 ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 41
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Page 57: Exercícios Vejamos um exemplo: poi

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