Cálculo integral em R

y
a
g(x)
f(x)
R +∞
g(x)dx
a
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL
R +∞
f(x)dx
a
A demonstração do resultado anterior baseia-se no facto de os integrais indefinidos F(z) =
z
z
f(x)dx e G(z) = g(x)dx definirem funções crescentes em [a,+∞[ (pois f(x),g(x) ≥ 0 para
a
a
todo o x) e portanto que admitirem limite em +∞ se e só se forem limitados.
Exemplos
Pretende-se determinar a natureza dos seguintes integrais
1.
2.
+∞
1
+∞
1
Resolução:
dx
x 3 + 2x + 1 .
2
x + √ x dx.
1. Como x ≥ 0, x3 +
2x
+ 1
≥ x
≥0
3 e portanto 0 ≤
1
x 3 + 2x + 1
x
1
≤
x3. Como o integral
é um integral de Dirichelet convergente (α = 3 > 1) concluímos pelo 1o critério de com-
+∞
dx
paração (i), que
x3 é também convergente.
+ 2x + 1
1
2. Como x ≥ 1, √ x ≤ x e portanto x + √ x ≤ 2x. Portanto 0 ≤ 1
2x ≤
integral
+∞
1
dx
x
é um integral de Dirichelet divergente,
resulta do 1 o critério de comparação (ii), que
+∞
1
+∞
1
dx
x + √ x
dx
2x
+∞
1
dx
x 3
1
x + √ . Como o
x
é também divergente. Logo
é também divergente.
Muitas vezes não é fácil majorar ou minorar uma função por forma a podermos aplicar o 1 o
critério de comparação. Nessas alturas podemos tentar aplicar o seguinte critério de comparação.
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 44