Cálculo integral em R

1.5 Teorema da média.
1.5. TEOREMA DA M ÉDIA.
Consideremos uma variável X = X(t) que depende continuamente de t num dado intervalo [a,b].
Durante o período de tempo compreendido entre t = a e t = b efectuamos n observações que
registamos na variável da seguinte forma: dividimos o intervalo [a,b] em n sub-intervalos de
igual amplitude ∆ = b−a
n ,
I1 = [a, a + ∆], · · · , Ij = [a + (j − 1)∆, a + j∆], · · · , In = [a + (n − 1)∆, a + n∆].
Para cada um destes sub-intervalos Ij = [a+(j −1)∆,a+j∆], tomamos o ponto médio tj = a+
(j −1)∆+ ∆
2 e registamos o valor: Xj = X(tj). Obtivemos assim n observações X1,X2,... ,Xn,
que representamos como um gráfico de n colunas de amplitude ∆ e alturas X1,... ,Xn.
Xj
X3
X2
X1 X1
Xn
X
Área = ∆ Xj
X(t)
a b
∆
t1 t2 tj tn
A área de cada coluna de altura Xj é obviamente Xj · ∆. Soma das áreas de todas as colunas
dá-nos um valor aproximado da área abaixo do gráfico de X, ou seja,
Como ∆ = b−a
n obtemos
∆ ·
n
Xj =
i=1
b − a
n
n
Xj · ∆ ∼
i=1
n
Xj, ∼
j=1
b
a
b
a
X(t)dt.
X(t)dt.
Dividindo ambos os membros da igualdade anterior por b − a obtemos
1
n
n
Xj, ∼
j=1
1
b − a
b
a
X(t)dt.
Ora o primeiro membro representa a média das n observações, que vamos notar Xn, ou seja,
Portanto
Xn = X1 + X2 + · · · + Xn
n
Xn ∼
1
b − a
b
a
=
X(t)dt.
n j=1 Xj
.
n
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 27
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