Cálculo integral em R

1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO
Analogamente, se f :]−∞,a] → R é uma função integrável em qualquer intervalo da forma [z,a]
com z < a tomamos
a
−∞
f(x)dx = lim
z→−∞
a
z
f(x)dx (se este limite existir!).
Se f : R → R é uma função integrável em qualquer intervalo fechado e limitado de R, também
se define
+∞
a
+∞
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx,
se
a
−∞
f(x)dx e
+∞
a
−∞
−∞
a
f(x)dx forem ambos integrais convergentes para algum a ∈ R (o ponto a
não é relevante como veremos no teorema 1.7.2).
Vamos agora estudar uma família muito importante de integrais impróprios, designados por
integrais de Dirichelet, e que são da forma
+∞
1
dx
x α,
α ∈ R.
O estudo da natureza destes integrais é bastante fácil, uma vez que a função integranda admite
uma primitiva conhecida.
Teorema 1.7.1 O integral de Dirichelet
caso temos
+∞
1
+∞
1
dx
=
xα dx
é convergente se e somente se α > 1, e nesse
xα 1
α − 1 .
Intuitivamente se α > 1 “o gráfico de 1
vai decrescer suficientemente rápido para zero quando
xα x → +∞” o que vai permitir que a área abaixo do gráfico seja finita.
1
y
1
1
xα , α < 1
1
x
1
xα , α > 1
x
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 39