Cálculo integral em R

Assim,
π2
0
cos √ xdx =
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL
2 √ xsin √ x + 2 cos √ π2 x
0
= 2π sin π + 2cos π − (0 + 2cos 0) = −4.
1
16. Finalmente consideremos a função √ . A primitiva desta função é uma primitiva
4−9x2 (quase) imediata envolvendo a função arcsin x. Alternativamente podemos tentar calcular
1
a primitiva efectuando uma mudança de variável conveniente. Mais precisamente, √
4−9x2 é uma função “racional” em x e √ 4 − 9x2 , ou seja, do tipo R(x, √ a2 − b2x2 ) com a = 2 e
2 sint = 3 sint.
b = 3. Para este tipo de funções efectuamos a mudança de variável x = a
b
Logo x ′ = 2
3 cos t e t = arcsin3x 2 . Portanto
1
P √
4 − 9x2 =
1
P
4 − 9 =
2
cos t
2 2 2 3
3 sin t
3x t=arcsin 2
2
3 P
=
cos t
2 4(1 − sin t) 3x t=arcsin 2
2
=
cos t
P √
3 4cos2
t 3x t=arcsin 2
2
cos t
P
3 2cos t
3x t=arcsin 2
= 1
3 P 1| 1
t=arcsin x =
3 t| t=arcsin 3x
2
= 1
3 arcsin3x
2 .
Assim,
Exercícios
1
3
0
2dx
√ 4 − 9x 2
2
=
3
arcsin 3x
2
1
3
0
2
= arcsin
3
1
− arcsin 0
2
= 2 π
3 6
Calcule os seguintes integrais usando a fórmula fundamental do cálculo integral.
1.
2.
2
0
5
−1
x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1
f(x)dx com f(x) =
√ 2 + xdx.
x+3
.
2 , 1 ≤ x ≤ 2
= π
9 .
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 14