Cálculo integral em R

10. A função R(x) = 1
1.2. FÓRMULA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL.
é uma função racional própria pois é um quociente de dois
x2−4 polinómios, sendo que o grau do denominador é superior ao do numerador. O polinómio
x2−4 tem duas raízes simples −2,2 e portanto admite a factorização x2−4 = (x+2)(x−2).
Vamos empregar o método dos coeficientes indeterminados para decompôr R(x):
1
x 2 − 4 =
= A(x + 2) + B(x − 2)
Daqui resultam as igualdades
Assim
e portanto
1 A B
= +
(x − 2)(x + 2) x − 2 x + 2
(x − 2)(x + 2)
A + B = 0
2(A − B) = 1 ⇔
1
−1
dx
x 2 − 4 =
1
x 2 − 4 =
1
−1
= 1
4
= (A + B)x + 2(A − B)
B = −A
4A = 1
1
4(x − 2) −
x2 .
− 4
⇔
1
4(x + 2)
1
4(x − 2) −
1
dx
4(x + 2)
1
−1
dx 1
−
x − 2 4
1
−1
dx
x + 2
B = − 1
4
A = 1
4 .
= 1
1 log |x − 2| − log |x + 2|
4
−1
= 1
3
(log 1 − log 3 − log 3 + log 1) = −log
4 2 .
11. A função R(x) = x+10
(x−1) 2 é uma função racional própria cujo denominador admite a raíz
dupla x = 1. Nestes casos procuramos decompôr R(x) da seguinte forma:
x + 10 A
=
(x − 1) 2 x − 1 +
Daqui resultam as igualdades
Assim
B A(x − 1) + B
=
(x − 1) 2 (x − 1) 2
A = 1
B − A = 10 ⇔
= Ax + B − A
A = 1
B = 11.
x + 10 1
=
(x − 1) 2 x − 1 −
11
(x − 1) 2.
(x − 1) 2 .
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 11