Numerické metody – studijní opora

• Chyba metody: Y − y = F(x 1 ,... ,x n ) − f(x 1 ,... ,x n ).• Primární chyba: y − y ′ = f(x 1 ,... ,x n ) − f(˜x 1 ,... , ˜x n ).• Sekundární chyby: y ′ − ỹ = f(˜x 1 ,... , ˜x n ) − ˜f(˜x 1 ,... , ˜x n ).Primární chybu lze odhadnout pomocí následující věty.Věta 2.6.Necht’ funkce f(x 1 ,... ,x n ) je spojitě diferencovatelná na množiněG = {x i : |x i − ˜x i | ≤ α i ,i = 1,... ,n}.Pakn∑|f(x 1 ,... ,x n ) − f(˜x 1 ,... , ˜x n )| ≤ A i α i ,i=1kde A i = sup ∣ ∂f ∣∂x i(x 1 ,...,x n ) ∣, i = 1,... ,n.GDůkaz. Plyne z Lagrangeovy věty o střední hodnotě pro funkce n proměnných.Poznámka 2.7.(i) Určit suprémum parciálních derivací funkce f na množině G může být poměrněobtížné i pro nepříliš složitou funkci. V praxi proto rozdílf(x 1 ,... ,x n ) − f(˜x 1 ,... , ˜x n )vyjadřujeme pomocí totálního diferenciálu df(˜x,x), který má tvar|f(x 1 ,...,x n ) − f(˜x 1 ,... , ˜x n )| ˙=df(˜x,x) =a klademen∑i=1A i =∂f∣ (˜x 1 ,..., ˜x n )∂x ∣ .i∂f∂x i(˜x 1 ,..., ˜x n )(x i − ˜x i ).Tento postup je ospravedlnitelný v případě "malých" změn funkce f(x 1 ,...,x n )na okolí bodu (˜x 1 ,... , ˜x n ).(ii) Odhad sekundární chyby lze provést po rozepsání algoritmu do konečné posloupnostiaritmetických operací.13