Numerické metody – studijní opora

stačí vzítl ≥ logε(1 − K)|x 1 − x 0 | · 1log K .Posloupnost {x k } ∞ k=0je cauchyovská, a tedy konvergentní. Protože funkce ϕ(x)je kontraktivní a tedy i spojitá, plyne ze vztahu (5.2) přechodem k limitě k → ∞rovnost ϕ(¯x) = ¯x.Předpokládejme, že funkce ϕ(x) má druhý pevný bod ˆx. Potom|ϕ(¯x) − ϕ(ˆx)| = |¯x − ˆx|.Na druhé straně ϕ(x) je kontraktivní, tedy|ϕ(¯x) − ϕ(ˆx)| ≤ K |¯x − ˆx| < |¯x − ˆx| ,a to je spor.⋄Důsledek 5.2. Necht’ ϕ(x) je kontraktivní na 〈a,b〉 s koeficientem K. Necht’ posloupnost{x k } ∞ k=0 je definovaná vztahem (5.2). Pak platí|¯x − x k ||¯x − x k |≤≤K k1 − K |x 1 − x 0 |, (5.3)K1 − K |x k − x k−1 | . (5.4)Poznámka 5.3.(i) Kontraktivnost funkce ϕ(x) znamená, že vzdálenost obrazů je menší nežvzdálenost vzorů. Kontraktivnost je pro existenci pevného bodu podstatná.(ii) Banachova věta představuje obecný princip konvergence iteračních metod.Dá se použít v různých souvislostech, například pro rovnice diferenciální iintegrální. Funkce ϕ(x) je pak definována v prostoru vhodných funkcí.(iii) Vztah (5.3) lze použít jako kritérium pro zastavení výpočtu.(iv) Rychlost konvergence závisí na faktoru Kk1−K, s klesajícím K rychlost konvegencenarůstá.57