Numerické metody – studijní opora

2 ÚVOD DO NUMERICKÉ MATEMATIKY... co by Vám měla přinést tato kapitola:Při zkoumání reálných problémů a jejich následném řešení pomocí matematickýchprostředků většinou zjištujeme, že nejsme schopni řešit tyto problémy v jejich původnímrozsahu. Už při sestavování matematického modelu jsme nuceni původníproblém zjednodušovat a brát v úvahu vliv pouze některých faktorů, protože jinakbychom obdrželi model, jehož analýza by byla neúměrně složitá. Dalších nepřesnostíse dopouštíme při volbě metody, kterou chceme použít k řešení sestavenéhomodelu. Jestliže poté dospějeme až ke konkrétnímu výpočtu, přesněji řečeno k realizacipříslušného algoritmu, zjišt’ujeme, že vstupní údaje bývají často zatíženy určitouchybou. Kromě toho je v průběhu výpočtu nutné zaokrouhlovat mezivýsledky,což je rovněž zdrojem nepřesností.Souhrn všech výše uvedených faktorů způsobí pochopitelně rozdíl mezi obdrženýmvýsledkem a skutečným řešením původního problému. Takový výsledek mápro nás cenu jen tehdy, jestliže dovedeme odhadnout, jak velká je nepřesnost, kteréjsme se dopustili. Náplní této kapitoly je proto poukázat na obecná úskalí, kteráobnáší proces řešení úloh numerickou cestou. Větší pozornost bude přitom věnovánazaokrouhlovacín chybám a dále pak dobré podmíněnosti úloh a stabilitěalgoritmů. Pod posledními dvěma pojmy si může čtenář zatím představit jakousi"záruku" toho, že po ukončení výpočtu obdržíme dostatečně přesný výsledek.2.1 Rozdělení chybJak již bylo zmíněno v úvodu, při řešení daného problému provádíme jistá zjednodušení,a proto jsou chyby (nepřesnosti) nedílnou součástí řešení daného problému.Chyby můžeme rozdělit podle toho, v jaké oblasti vznikají.• Chyby matematického modeluPři snaze o popis nějakého reálného jevu vyvstává velmi často nutnost zanedbatněkteré skutečnosti, což vede k rozdílu mezi vytvořeným modelema reálným stavem. Chyby tohoto druhu nazýváme chybami matematickéhomodelu.Příklad: Kalendář jako model tropického roku– starořímský kalendář měl dvanáct měsíců a jeho celková délka byla355 dnů. Chyba tohoto kalendáře činila tedy 10 dnů. Pro vyrovnání tohotorozdílu se vkládal na konec měsíce Februaria měsíc Mercedoniuso 28-29 dnech. Pro vkládání Mercedonia neexistovalo žádné pravidloa jeho vložení záviselo na rozhodnutí kněží.7