Numerické metody – studijní opora

Věta 4.4. Necht’ jsou funkce ϕ 0 (x),... ,ϕ k (x) lineárně nezávislé na množiněbodů x 0 ,... ,x n . Pak má normální soustava jediné řešení a ∗ 0 ,...,a∗ k a funkcea ∗ 0ϕ 0 (x i ) + ... + a ∗ kϕ k (x i ) = 0 i = 0... ,nje nejlepší aproximací funkce f na množně bodů x 0 ,... ,x n .Důkaz. Vzhledem k tomu, že funkce ϕ 0 (x),... ,ϕ k (x) jsou lineárně nezávisléna množině bodů x 0 ,...,x n , vyplývá z vlastností Grammova determinantu jednoznačnostřešení soustavy (4.3). Ukážeme nyní, že pro a ∗ 0 ,... ,a∗ k nabývá funkceS(a 0 ,... ,a k ) minimální hodnoty. Vypočtěme veličinuS(a ∗ 0 + ∆a 0 ,... ,a ∗ k + ∆a k ),kdek∑|∆a j | ≠ 0i=jn∑S(a ∗ 0+∆a 0 ,... ,a ∗ k+∆a k ) = (y j − [(a ∗ 0 + ∆a 0 )ϕ 0 (x i ) + · · · + (a ∗ k + ∆a k )ϕ 0 (x i )]) 2 =i=0n∑n∑[y j − (a ∗ 0ϕ 0 (x i ) + ... + a ∗ kϕ k (x i ))] 2 + [(∆a 0 ϕ 0 (x i ) + ... + ∆a k ϕ k (x i ))] 2i=0i=0n∑−2 [y j − (a ∗ 0 ϕ 0(x i ) + ... + a ∗ k ϕ k(x i ))][(∆a 0 ϕ 0 (x i ) + ... + ∆a k ϕ k (x i ))] =i=0S(a ∗ 0,... ,a ∗ k) −2 {∆a 0 [(y,ϕ 0 ) − a ∗ 0(ϕ 0 ,ϕ 0 ) − a ∗ 1(ϕ 1 ,ϕ 0 ) − ... − a ∗ k(ϕ k ,ϕ 0 )] ++ ∆a 1 [(y,ϕ 1 ) − a ∗ 0(ϕ 0 ,ϕ 1 ) − a ∗ 1(ϕ 1 ,ϕ 1 ) − ... − a ∗ k(ϕ k ,ϕ 1 )] +.+ ∆a k [(y,ϕ k ) − a ∗ 0(ϕ 0 ,ϕ k ) − a ∗ 1(ϕ 1 ,ϕ k ) − ... − a ∗ k(ϕ k ,ϕ k )]}+n∑[(∆a 0 ϕ 0 (x i ) + ... + ∆a k ϕ k (x i ))] 2 .i=0Člen ve složených závorkách {} je roven nule, protože se vždy jedná o rozdíl pravéa levé strany rovnic normální soustavy. Poslední součet je kladné číslo, protožefunkce ϕ 0 (x),... ,ϕ k (x) jsou lineárně nezávislé a ∑ ki=j |∆a j | ≠ 0. Z uvedenéhovyplývá, žeS(a ∗ 0 + ∆a 0 ,... ,a ∗ k + ∆a k ) > S(a ∗ 0,... ,a ∗ k)pro libovolné přírůstky proměnných a i a to znamená, že funkce S nabývá v bodě(a ∗ 0 ,... ,a∗ k) minimální hodnoty. ⋄50