Numerické metody – studijní opora

(5.1). Vskutku((α = lim x k+1 = lim x k − f(x ) f limk)k→∞ k→∞ f ′ = lim(x k )x k− (k→∞f ′ limk→∞ x kk→∞ x k)) = α− f(α)f ′ (α) .Odtud vyplývá, že f(α) = 0 a vzhledem k jednoznačnosti kořene platí, že α = ¯x. ⋄Příklad 5.8. Metodou tečen nalezněte přibližnou hodnotu kořene rovnicex − cos x = 0na intervalu 〈0, π 2〉. Zaokrouhlujte na 6 desetinných míst.Řešení.(i) Ověříme, zda kořen leží v daném intervalu:f(a) · f(b) < 0( π(0 − cos 0) ·2 − cos π )< 02( ) π(−1) ·2 − 0 < 0− π 2< 0Podmínka je splněna.(ii) Určíme počáteční aproximaci x 0 podle věty 5.7. Spočteme první a druhouderivaci:f ′ (x) = 1 + sin xf ′′ (x) = cos xObě derivace jsou na intervalu 〈0, π 2 〉 kladné, proto x 0 = b = π 2 .(iii) Další aproximace spočteme podle vztahu (5.7), tj.Postupně dostáváme:x k+1= x k − x k − cos x k1 + sin x k.x 1 = 0,785398x 2 = 0,739536x 3 = 0,739085x 4 = 0,739085.63