Numerické metody – studijní opora

= H 2 x (k−2) + (H + E)h.= H k x (0) + (H k−1 + ...H + E)h.Z předpokladu ρ(H) < 1 dostáváme využitím předchozího lemmatulimk→∞ x(k) = limk→∞ Hk x (0) + limk→∞ (Hk−1 + ... H + E)h= 0 · x (0) + (E − H) −1 h = (E − H) −1 h.Dosazením do (6.4) lze ověřit, že x = lim k→∞ x (k) = (E − A) −1 h je řešenírovnice x = Hx + h. Jeho jednoznačnost je zřejmá.Pro důkaz opačné implikace vycházíme z předpokladu, že posloupnost {x (k) } ∞ k=0konverguje k řešení x pro každé x (0) . Z rovnice (6.4) vyplývá, že x = Hx + h,takže pro každé k platíOdtud mámex − x (k) = T(x − x (k−1) ) = · · · = T k (x − x (0) ).lim T k (x − x (0) ) = lim (x −k→∞ k→∞ x(k) ) = 0.Důsledkem předcházejících úvah je, že položíme-li x (0) = x−z, kde z je libovolné,dostávámelim T k z = lim T k (x − (x − z)) = 0,k→∞ k→∞což podle předcházejícího lemmatu znamená, že ρ(H) < 1.6.3.2 Jacobiova a Gaussova-Seidelova metodaV tomto odstavci se seznámíme se dvěma nejpoužívanějšími iteračními metodamipro řešení systému lineárních rovnic. Už v předcházejícím odstavci jsme uvedli,že dané iterační techniky se liší tvarem iterační matice H ve vztahu (6.4). Odvodímenejdříve tvar iterační matice pro Jacobiovu metodu. Předpokládejme opět, žematice A je regulární a zapišme ji ve tvaruA = D + L + U, (6.5)kde D je diagonální matice, L je dolní trojúhelníková matice s nulovou diagonáloua U je horní trojúhelníková matice s nulovou diagonálou. Předpokládejme, že D⋄85