Numerické metody – studijní opora

pro n = k − 1. Pro n = k matici A vyjádříme ve tvaru⎛ ⎞A k = ⎝ A k−1 s⎠,r a kkkde s = (a 1k ,a 2k ,... ,a k−1,k ) ⊤ a r = (a k1 ,a k2 ,...,a kk−1 ). Položme⎛ ⎞ ⎛ ⎞L k = ⎝ L k−1 0⎠, U k = ⎝ U k−1 y ⊤⎠ .x 10 u kkPodle předpokladu jsou matice U k−1 ,L k−1 regulární, jednoznačně určené a platíL k−1 U k−1 = A k−1 . Neznámé vektory x,y a prvek a kk určíme tak, aby platiloL k U k = A k . Tedy L k−1 y ⊤ = s, U ⊤ k−1 x⊤ = r ⊤ . Jedná se o dva systémys trojúhelníkovou maticí, které mají jediné řešení x = ¯x, y = ȳ. Z podmínkyxy ⊤ + u kk = a kk plyne, že u kk = a kk − ¯xȳ ⊤ . Tedy matice L k ,U k jsou určenyjednoznačně.Musíme ještě ukázat, že u kk ≠ 0. Platí detL k = 1 · detL k−1 , detU k =u kk · det U k−1 , pak z podmínkydet A k = detL k detU k = u kk · detL k−1 det U k−1 ≠ 0plyne požadovaná nerovnost.⋄Poznámka 6.4. Jsou-li dány diagonální prvky matice L a l ii = 1 pro všechnai = 1,... ,n, tj.⎛⎞1 0 0 ... 0l 21 1 0 ... 0L =l 31 l 32 1 ... 0,.⎜⎝. . . .. . ⎟⎠l n1 l n2 l n3 ... 1hovoříme o Doolittlově rozkladu.Příklad 6.5. Najděte řešení soustavy rovnic pomocí metody LU-rozkladu:x 1 + x 2 − x 3 = 32x 1 − x 2 + 3x 3 = 0−x 1 − 2x 2 + x 3 = −5Řešení.77