Numerické metody – studijní opora

5.1 Metoda prosté iteraceŘešit rovnici ϕ(x) = x metodou prosté iterace znamená zvolit x 0 ∈ 〈a,b〉 a položitx k+1 = ϕ(x k ). (5.5)Předpoklady Banachovy věty zaručují, že x k je definováno pro každé k a posloupnostiterací konverguje ke kořenu ¯x. Graficky je situace znázorněna na obrázku5.1xx 2x 3x 3x 1x 2ϕ(x)x 1x 0Obr. 5.1Z praktického hlediska je ovšem obtížné ověřit kontraktivnost funkce ϕ(x). Předpokládáme-li,že funkce ϕ(x) má derivaci na daném intervalu, můžeme zformulovattvrzeníVěta 5.4. Necht’ ϕ(x) je diferencovatelná na 〈a,b〉. Necht’ existuje reálné číslo Ktakové, že pro všechna x ∈ 〈a,b〉 platí |ϕ ′ (x)| ≤ K < 1. Pak funkce ϕ(x) je v〈a,b〉 kontraktivní s koeficientem K.Důkaz. Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě pro každé x,y ∈ 〈a,b〉, x > y,existuje bod α ∈ (a,b) takový, žeTedyϕ(x) − ϕ(y) = ϕ ′ (α)(x − y).|ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ |ϕ ′ (α)| · |x − y| ≤ K|x − y|.⋄Jestliže chceme použít metodu prosté iterace na řešení rovnice f(x) = 0, jenutné ji upravit na ekvivalentní rovnici , tj. na rovnici tvaru ϕ(x) = x, která bude58