Numerické metody – studijní opora

a x = (c 1 ,... ,c n+1 ) T . Matice A je ryze diagonálně dominantí matice, což nazákladě znalostí z lineární algebry zajišt’uje jednoznačnost řešení soustavy Ax =b.Obdobné tvzení, které platí pro úplný kubický splajn, uvádíme bez důkazu.Věta 3.27. Pro funkci f, která je definovaná na 〈a,b〉, existuje jediný úplný kubickýsplajn, tj. splajn splňující podmínky S ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ), S ′ (x n ) = f ′ (x n ).Příklad 3.28. Funkci f(x) = sin x interpolujte v bodech x 0 = π 2 , x 1 = π,x 2 = 3π 2 , x 3 = 2π přirozeným kubickým splajnem.Řešení. Máme čtyři ekvidistantní uzly, proto h i = π 2polynomy 3. stupně. Úkolem je najít 12 koeficientů:pro i = 1,2,3. Hledáme 3Nejprve spočteme funkční hodnotya 1 b 1 c 1 d 1a 2 b 2 c 2 d 2a 3 b 3 c 3 d 3 .y 0 = 1, y 1 = 0, y 2 = −1, y 3 = 0.Sestavíme systém rovnic (3.13) s využitím rovnosti c 1 = c 4 = 0.Necht’ i = 2 :(−1 − 03π− 0 − 1)ππ= c 12 22 + 2c 2( π 2 + π 2 ) + c π32 ,Necht’ i = 3 :(0 + 13π22πc 2 + π 2 c 3 = 0.− −1 − 0)π2π2 c 2 + 2πc 3 = 12ππ= c 22 + 2c 3( π 2 + π 2 ) + c π42 ,Vyřešíme soustavu dvou rovnic s neznámými c 2 a c 3 :0 = 4π 2 c 2 + π 2 c 3 ,24 = π 2 c 2 + 4π 2 c 3 .42