Numerické metody – studijní opora

m i pro i = 0,... ,n. Musí být tedy splněny podmínkyH(x i ) = f(x i ), H ′ (x i ) = f ′ (x i ),... ,H m i(x i ) = f m i(x i ), i = 0,... ,n.Polynom H(x) budeme hledat ve třídě polynomů stupně nejvýše M = ∑ ni=0 m i +n, tj. stupeň je roven počtu podmínek sníženém o 1. Pokud jde o jednoznačnost určenítohoto polynomu, platí obdobná věta jako v případě Lagrangeovy interpolace.Věta 3.19. Pro daná reálná čísla x i , i = 1,... ,n, taková, že x i ≠ x j a hodnotyfi k, i = 1,... ,n, k = 1,... ,m i existuje jediný polynom stupně nejvýše M, kdeM = ∑ ni=0 m i + n takový, že jsou splněny podmínkypro i = 0,... ,n.H(x i ) = f(x i ), H ′ (x i ) = f ′ (x i ),... ,H m i(x i ) = f m i(x i ),Důkaz. Je obdobou důkazu věty 3.2.Poznámka 3.20. Doposud se čtenář mohl setkat se dvěma speciálními případyHermitova interpolačního problému.(i) n = 0, čili je dán bod x 0 a číslo m 0 . Výsledný polynom je známý čtenáři zmatematické analýzy pod názvem Taylorův polynom.(ii) V případě, že m i = 0 pro i = 0,... ,n, tj. nejsou zadány hodnoty derivací,se samozřejmě jedná o Lagrangeovu interpolaci.V dalším se nebudeme zabývat Hermitovým interpolačním problémem obecně.Uvedeme konstrukci Hermitova interpolačního polynomu pro případ, kdy jsou vbodech x 0 ,...,x n známé funkční hodnoty f 0 ,... ,f n a hodnoty prvních derivacíf ′ 0 ,... ,f ′ n. Interpolovat funkci f za těchto podmínek znamená najít polynom H(x)tak, abyH(x i ) = f i , H ′ (x i ) = f ′ i, i = 0,... ,n. (3.5)Kladených podmínek je celkem 2n + 2, a proto bude hledaný Hermitův polynomstupně nejvýše 2n + 1. Tento polynom, podobně jako Lagrangeův, budeme hledatjako lineární kombinaci jistých polynomů ve tvarun∑ n∑H 2n+1 (x) = f i h i (x) + f iĥi(x),′i=0 i=0kde h i (x),ĥi(x) jsou polynomy stupně nejvýše 2n+1. Idea konstrukce je obdobnájako u Lagrangeova interpolačního polynomu, kdy jsme ke každému uzlu sestrojili34