Numerické metody – studijní opora

Tentokrát dělícím bodem není polovina intervalu, ale průsečík sečny vedené body[x k ,f(x k )], [x i ,f(x i )] a osy x, kde bod x i je určen tak, abyf(x i ) · f(x k ) < 0 a f(x k ) · f(x j ) > 0pro všechna j takové, že i < j < k. Iterační vztah metody regula falsi má tvarx k − x ix k+1 = x k − f(x k )f(x k ) − f(x i ) . (5.9)Ve srovnání s metodou sečen konverguje metoda regula falsi pomaleji. Na druhoustranu tato metoda konverguje pro každou spojitou funkci f(x), jak udává následujícívěta, jejíž důkaz je možné nalézt např. v ([9, str. 320-322]). Diskuze o zastavenívýpočtu je obdobná jako v poznámce 5.5.Věta 5.9. Necht’ f(x) je spojitá funkce na intervalu 〈a,b〉, f(a)·f(b) < 0 a necht’f(x) má v intervalu 〈a,b〉 právě jeden kořen. Pak posloupnost {x k } ∞ k=0 definovanávztahem (5.3) konverguje ke kořenu rovnice (5.1).Je-li funkce f(x) konvexní, resp. konkávní, na intervalu 〈a,b〉 a položíme-lix 0 = b,x 1 = a, je-li f(x) konvexní,x 0 = a,x 1 = b, je-li f(x) konkávní,pak f(x j ) bude mít vždy stejné znaménko pro všechna j = 1,2,... a vztah (5.3)bude mít tvarMetodu ilustruje obrázek 5.5.x k − x 0x k+1 = x k − f(x k )f(x k ) − f(x 0 ) .a=x 1x 2 x3b=x 0Obr. 5.565