Numerické metody – studijní opora

3.6 Kontrolní otázky a cvičení∑Cvičení 3.1. Dokažte, že n l i (x) = 1.i=0Cvičení 3.2. Necht’ funkce f(x) je spojitě diferencovatelná na intervalu 〈x 0 ,x 1 〉.Dokažte, že f[x 0 ,x 1 ] = f ′ (c) pro nějaké c ∈ 〈x 0 ,x 1 〉.Cvičení 3.3.Sestrojte Newtonův interpolační polynom:(i)(ii)x i -1 1 2 3f i -4 0 5 20x i -2 0 1 2f i -13 -1 8 43Cvičení 3.4. Aproximujte hodnotu funkce f = e x2 −1 v bodě x = 1,25 pomocíLagrangeova polynomu 4. stupně a odhadněte chybu.x i 1 1,1 1,2 1,3 1,4f i 1 1,23368 1,55271 1,99372 2,61170Cvičení 3.5. Užijte následujících hodnot ke konstrukci Lagrangeova polynomu aaproximujte hodnotu funkce sin x v bodě x = 0,34. Odhadněte chybu.x i 0,3 0,32 0,33 0,35sin x i 0,29552 0,31457 0,32404 0,34290Cvičení 3.6. Necht’ f(x) = 3xe x − e 2x . Aproximujte hodnotu f(1,03) pomocíHermitova interpolačního polynomu, jestliže uzlové body jsou x 0 = 1, x 1 = 1,05a x 2 = 1,07. Odhadněte chybu.Cvičení 3.7. Je funkce f(x) = |x| splajn prvního stupně? Svou odpověd’ zdůvodněte.Cvičení 3.8. Je daná funkce S(x) kvadratický splajn? Svou odpověd’ zdůvodněte.44