Numerické metody – studijní opora

akterizovány hodnotami parametrů a 0 ,a 1 ,...,a n , najděte funkci, pro kterou platíψ(x i ;a 0 ,a 1 ,...,a n ) = y i ,i = 1,...,n.Body (x i ,y i ), i = 1,...,n grafu funkce f nazýváme uzly (někdy také póly, z čehožvychází pojem interpolace, který znamená doplnění, popř. nahrazení grafu funkcef mezi póly). V závislosti na tvaru funkce ψ(x;a 0 ,a 1 ,...,a n ) hovoříme o interpolacipolynomiální, splajnové, trigonometrické, racionální, exponenciální apod.V dalším se budeme zabývat nejprve interpolací polynomiální.Už v úvodním odstavci kapitoly jsme naznačili, že vhodnou třídou funkcí, pomocínichž aproximujeme jiné funkce, jsou algebraické polynomy, tj. množinafunkcí následujícího tvaru:P n (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0 ,kde n je nezáporné celé číslo a a 0 ,a 1 ,...,a n jsou reálné konstanty. Tyto funkcemají řadu analytických předností např. v tom, že se snadno derivují a integrují,přičemž výsledkem těchto operací jsou opět polynomy. Další výhoda spočívá vtom, že změní-li se měřítko proměnné, změní se jen koeficienty, ale ne samotnýtvar aproximace.Tyto výhody třídy polynomů by ovšem neměly žádnou váhu, kdybychom nemělik dispozici analytický podklad pro domněnku, že pomocí této třídy můžemedosáhnout aproximace "dostatečné" přesnosti. Při každé aproximační metodě musímemít na paměti, že míra zjednodušení musí být nastavena tak, abychom informace,které jsme měli k dispozici, ztráceli v co nejmenší možné míře. V opačnémpřípadě se dopouštíme zbytečných nepřesností. Uspokojivého výsledku dosáhnemetehdy, jestliže navržený postup umožňuje vypočtené hodnoty libovolně zpřesňovatna požadovanou mez. Z tohoto hlediska je pro nás klíčová následující věta.Věta 3.1. (Weierstrassova věta o aproximaci)Je-li f spojitá funkce definovaná na intervalu [a,b] a ɛ > 0 je libovolné, pak existujepolynom P(x) definovaný na intervalu [a,b] takový, že platípro všechna x ∈ [a,b].|f(x) − P(x)| < ɛDůkaz. Je možné nalézt např. v knize A. Ralstona [8]. Geometricky ilustruje významtéto věty obrázek 3.1.21