Numerické metody – studijní opora

pravidlax =( D1D ,..., D ) ⊤n, (6.2)Dkde D = detA je determinant matice A a D j = detA j je determinant maticeA j , která vznikne z matice A tak, že její j-tý sloupec nahradíme sloupcem pravýchstran b.Z numerického hlediska je však Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy (6.1)zcela nevhodné. Už pro relativně malé soustavy (o několika desítkách rovnic) byvýpočet trval neúměrně dlouho, protože výpočet determinantů je časově extrémněnáročný.Numerické metody pro řešení systémů lineárních rovnic lze rozdělit do dvouskupin, na metody přímé (konečné) a iterační.Přímými metodami rozumíme ty metody, které vedou k řešení po konečnémpočtu elementárních aritmetických operací. Jejich princip je založen na úpravě výchozímatice soustavy na matici trojúhelníkovou. Takto vzniklý systém lze pakjednoduše řešit. V případě, že by během výpočtu nedocházelo k zaokrouhlování,vedly by tyto metody k přesnému řešení dané soustavy. Přímé metody jsou vhodnějšík řešení systémů, jejichž matice koeficientů je tzv. plná, což znamená, že mávelmi málo nenulových prvků. Matice tohoto typu se vyskytují ve statistice, matematickéfyzice apod. V dalším se budeme zabývat těmito přímými metodami:• metoda LU -rozkladu,• Gaussova eliminační metoda (GEM).Iterační metody vycházejí z nějakého počátečního přiblížení k řešení a konstruujíposloupnost aproximací, která konverguje k přesnému řešení. Iterační metodyjsou vhodné zejména pro systémy s tzv. řídkou maticí. Pod tímto pojmem mámena mysli matici, která má velmi málo nenulových prvků (často jen na hlavní diagonálea na diagonálách s ní sousedících). Matice tohoto typu často vznikají přinumerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic. Mezi tyto metody patří:• Jacobiho metoda,• Gauss-Seidlova metoda,• relaxační metoda,• metoda největšího spádu.75