Numerické metody – studijní opora

mít shodné kořeny. Tento postup není dán jednoznačně a závisí na konkrétnímtvaru funkce f. Základním úkolem je provést úpravu tak, aby funkce ϕ(x) bylakontraktivní, přičemž zároveň usilujeme o co nejmenší koeficient kontrakce.Předpokládejme, že funkce f(x) je diferencovatelná a platí0 < c ≤ f ′ (x) ≤ dvšude v 〈a,b〉. V případě f ′ (x) < 0 bychom pracovali s funkcí −f(x). Rovnicex = x − λf(x)je ekvivalentní s rovnicí (5.1) a konstantu λ určíme tak, aby funkce ϕ(x) = x −λf(x) byla kontraktivní. Chceme, aby (viz. věta 5.4)Bez absolutních hodnot to znamená, že∣∣ϕ ′ (x) ∣ ∣ = ∣ ∣(x − λf(x)) ′∣ ∣ ≤ K < 1.1 − K ≤ λc ≤ λf ′ (x) ≤ λd ≤ 1 + K.K tomu, aby tyto nerovnosti byly splněny, stačí položitDostáváme tak iterační vztahλ = 2c + d .x k+1 = x k − 2c + d f(x k).Poznámka 5.5. Při rozhodování o zastavení iteračního procesu lze využít odhadu(5.3), resp. (5.4). Protože určení konstanty K může být velmi obtížné, používámejednodušší podmínku|x k − x k−1 | < ε, (5.6)kde ε > 0 je předem zvolené číslo. Splněním tohoto kritéria bohužel není zaručeno,že přesná hodnota kořene ¯x se od jeho aproximace x k liší o méně než ε. Chceme-lise přesvědčit, že |x k − ¯x| < ε, stačí vypočítat f(x k + ε) a f(x k − ε). Platí-lif(x k )f(x k + ε) < 0,resp.f(x k )f(x k − ε) < 0,59