Numerické metody – studijní opora

(i) Ověříme předpoklad věty 6.3:detA 1 = 1, ⎛ ⎞detA 2 = det ⎝ 1 1 ⎠ = −3,2 −1⎛1 1 −1detA 3 = det A = det ⎜ 2 −1 3⎝−1 −2 1⎞⎟⎠ = 5.(ii) Provedeme LU -rozklad matice A:⎛⎜⎝1 0 0l 21 1 0l 31 l 32 1⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝LU ⎞u 11 u 12 u 130 u 22 u 23 ⎟⎠0 0 u 33= A⎛= ⎜⎝1 1 −12 −1 3−1 −2 1⎞⎟⎠Roznásobíme⎛⎞ ⎛u 11 u 12 u 13⎜ l⎝ 21 u 11 l 21 u 12 + u 22 l 21 u 13 + u 23 ⎟⎠ = ⎜⎝l 31 u 11 l 31 u 12 + l 32 u 22 u 13 l 31 + l 32 u 23 + u 331 1 −12 −1 3−1 −2 1⎞⎟⎠ .Porovnáním koeficientů dostaneme⎛ ⎞1 0 0L = ⎜ 2 1 0 ⎟⎝ ⎠ ,1−131⎛U = ⎜⎝1 1 −10 −3 50 0 − 5 3⎞⎟⎠ .(iii) Řešíme soustavu Ly = b,⎛ ⎞ ⎛1 0 0⎜ 2 1 0 ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝1−131⎞ ⎛y 1y 2 ⎟⎠ = ⎜⎝y 330−5⎞⎟⎠ .Řešením této soustavy je vektor y = (y 1 ,y 2 ,y 3 ) ⊤ = (3, −6,0) ⊤ .78