Numerické metody – studijní opora

a jejich derivacel ′ 0 (x) = 1 6 (2x − 3), l′ 1 (x) = −1 2 (2x − 1), l′ 2 (x) = 2x 3 .Hledaný interpolační polynom je tvaruH 5 (x) = 4( 5 6 x + 8 3 )(x − 1)2 (x − 2) 2+0,5(x + 1) (x − 1)2 (x − 2) 23636+ 5x (x + 1)2 (x − 2) 24+ 0,2(x − 1) (x + 1)2 (x − 2) 24+ · · ·+ · · · ,kde výpočet členů na místě teček je ponechán čtenáři, jakož i případné další úpravy.Také při odvozování chyby Hermitovy interpolace je možné postupovat zcelaobdobným způsobem jako v případě Lagrangeovy interpolace. Dostáváme tak větu,kterou uvádíme bez důkazu.Věta 3.22. Předpokládejme, že f(x) ∈ C 2n+1 〈a,b〉 a x i ,i = 0,... ,n jsou navzájemrůzná čísla ležící v intervalu 〈a,b〉. Pak ke každému x ∗ ∈ 〈a,b〉 existuje čísloξ ∈ (a,b) takové, žef(x ∗ ) − H 2n+1 (x ∗ ) = f(2n+2) (ξ)(2n + 2)! (x − x 0) 2 (x − x 1 ) 2 ... (x − x n ) 2 ,kde H 2n+1 (x) je Hermitův interpolační polynom splňující podmínky (3.5).Poznámka 3.23. Pro odhad chyby při Hermitově interpolaci platí|f(x) − H 2n+1 (x)| ≤ M 2n+2(2n + 2)! |(x − x 0)(x − x 1 )... (x − x n )| 2 ,kde M 2n+2 = maxx∈〈a,b〉 |f(2n+2) (x)|. Tento vztah je opět obdobou vztahu udávajícíhoodhad chyby při Lagrangeově interpolaci. Je zřejmé, že také zde má na velikostchyby vliv vzdálenost zvolených uzlů x 0 ,... ,x n od bodu x ∗ .3.5 Splajnová interpolaceNevýhodou polynomiální interpolace je skutečnost, že případná změna některého zuzlů má vliv na celkové chování aproximující funkce. Kromě toho už při relativně37