Numerické metody – studijní opora

Příklad 4.5. Nalezněte polynom prvního stupně, který aproximuje funkci f(x)danou tabulkou:i 0 1 2 3x i 2 4 6 8y i 2 11 28 40Řešení. Máme určit polynom P 1 (x) = a 0 + a 1 x. Nejprve sestavme odchylkureálných hodnot f(x i ) = y i od teoretických P 1 (x i ) = a 0 + a 1 x i , tj.3∑O(a 0 ,a 1 ) = (a 0 + a 1 x i − y i ) 2 ,i=0ze které odvodíme systém normálních rovnic:Upravíme tento systém:∂O3∑= 2 (a 0 + a 1 x i − y i ) = 0,∂a 0 i=0∂O3∑= 2 (a 0 + a 1 x i − y i )x i = 0.∂a 1 i=03∑ 3∑a 0 1 + a 1 x i = 3 ⎫∑y i , ⎪⎬i=0 i=0 i=03∑ 3∑a 0 x i + a 1 x 2 ∑i = 3 (∗)x i y i . ⎪⎭i=0 i=0 i=0Využitím zápisu pomocí skalárního součinu získáme jednodušší tvar:⎫a 0 (1,1) + a 1 (x,1) = (y,1), ⎬a 0 (1,x) + a 1 (x,x) = (y,x). ⎭ (∗∗)Spočteme jednotlivé skalární součiny a přitom využijeme vlastnosti symetrie skalárníhosoučinu:(y,1) = 2 + 11 + 28 + 40 = 81,(y,x) = 2 · 2 + 4 · 11 + 6 · 28 + 8 · 40 = 4 + 44 + 168 + 320 = 536,(1,1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4,(x,1) = (1,x) = 2 + 4 + 6 + 8 = 20,(x,x) = (1,x 2 ) = 4 + 16 + 36 + 64 = 120.51