in-situ röntgendiffraktion zur charakterisierung von mechanischen ...

2. Theorie
Um vom allgemeinen Fall des Spannungszustandes auszugehen, dient der dreiachsige
Spannungszustand als Grundlage der Betrachtungen. Dabei sind sowohl die
Hauptspannungen als auch die Scherspannungen unterschiedlich von Null. Die Gestalt des
Spannungstensors kann also in folgender Form angeschrieben werden:
⎛σ
11 σ 12 σ 13 ⎞
⎜
⎟
⎜ σ 22 σ 23 ⎟
G(2.1)
⎜
⎟
⎝ σ 33 ⎠
Würde die Vereinfachung getroffen, dass für ein Volumenelement im Gefüge keine
Schubspannungen auftreten, so ergäbe sich der triaxiale hydrostatische Spannungszustand:
⎛σ
11 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ σ 22 0 ⎟
G(2.2)
⎜
⎟
⎝ σ 33 ⎠
Diese Annahme vereinfacht das Problem der Spannungs-Messung und -berechnung zwar
wesentlich, gilt jedoch nur für ein Volumenelement, das sich im Inneren eines Körpers
befindet und dessen Belastung allseitig gleich groß ist. Da dies für Körner in dünnen Filmen
nicht a priori angenommen werden darf, ist der hydrostatische Spannungszustand nicht
zwangsläufig eine geeignete Modelvorstellung für die Betrachtung von Spannungen in
dünnen Schichten.
Allgemein kann die Bedingung für das mechanische Gleichgewicht eines Volumenelements
über das mechanische Prinzip des Kräftegleichgewichts durch den folgenden
Zusammenhang beschrieben werden [28]:
3 δσ ij
= 0
G(2.3)
δ x
∑
j= 1 j
Da dieser Zusammenhang keine Einschränkungen hinsichtlich der Lage des
Volumenelements im Gefüge macht, gilt dies auch für Elemente an einer Oberfläche der
Probe. Ist n3 der Normalenvektor zur Oberfläche der Schicht, muss folglich
σ i3
⋅n3
= 0 gelten. Dies entspricht aber der Forderung von σi3=0 an der Oberfläche der
Schicht.
Diese Tatsache kann im Umkehrschluss nicht ohne weitere Überlegungen auf jedes
Volumenelement bezogen werden, da dieser Zusammenhang nur für die Oberfläche gilt. Ist
die Korngröße einer polykristallinen Schicht jedoch im Bereich der Schichtdicke [29], dann
ist diese Vereinfachung durchaus gerechtfertigt. Der Grund dafür liegt darin, dass in diesem
Fall jedes Korn ein Oberflächenelement aufweist.
Verschwinden also alle Spannungskomponenten der Richtung drei, so kommt man zum
biaxialen Spannungszustand. Dabei hat der Spannungstensor folgende Form:
⎛σ
11 σ12
0⎞
⎜
⎟
⎜ σ 22 0⎟
G(2.4)
⎜
⎟
⎝ 0⎠
Diesem biaxialen Spannungszustand liegen die meisten grundsätzlichen Überlegungen der
sin 2 ψ Methode bei der Spannungsmessung mittels Diffraktion zu Grunde. Es treten nur
Hauptspannungen in in-plane Richtungen auf sowie die über den Mohrschen Spannungskreis
dazugehörigen Schubspannungen σij (i≠j).
Unter der Annahme, dass die Hauptspannungen σ11 und σ22 im Spannungstensor gleich groß
sind (in-plane Isotropie, σ11=σ22=σinpl), entartet der Mohrsche Spannungskreis zu einem
Punkt und die Schubspannungskomponenten verschwinden.
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