Elektrische Energiesysteme - Power Electronics Systems Laboratory ...

92 5. Leitungen
Die Gleichungen (5.78) und (5.79) sind die Wellengleichungen (wave equations)
der verlustbehafteten Leitung und werden üblicherweise in folgender
Form geschrieben:
d 2 U
dx 2 = γ2 U
d 2 I
dx 2 = γ2 I
mit γ = √ (R ′ + jωL ′ ) (G ′ + jωC ′ ) = α + jβ
(5.80a)
(5.80b)
(5.80c)
Dabei ist γ die komplexe Wellenausbreitungskonstante (propagation constant)
mit der Dimension 1/Länge.
Die Lösungen der Gleichungen (5.80a) und (5.80b) sind von folgender
Form:
U(x) = U a + U b = U a0 e −γx + U b0 e γx
I(x) = I a + I b = I a0 e −γx + I b0 e γx
(5.81a)
(5.81b)
Wird Gleichung (5.81a) nach x abgeleitet und mit Gleichung (5.80c) in Gleichung
(5.77a) eingesetzt, dann finden wir eine Beziehung zwischen den Leitungsspannungen
und -strömen:
√
−1
I (x) =
R ′ + jωL ′ · dU
dx = G ′ + jωC ′ (
Ua0
R ′ + jωL ′ e −γx − U b0 e γx) (5.82)
Durch Koeffizientenvergleich der Gleichungen (5.82) und (5.81b) erhält man
als Quotient von Spannung und Strom die Wellenimpedanz (characteristic
impedance, surge impedance):
√
R
Z W =
′ + jωL ′
G ′ + jωC ′ = U a0
= − U b0
(5.83)
I a0 I b0
Die Dimension der Wellenimpedanz ist Ω.
Mit Hilfe von Gleichung (5.83) lässt sich Gleichung (5.82) wie folgt ausdrücken:
I(x) = 1
Z W
· (U a0 e −γx − U b0 e γx ) (5.84)
5.4.4 Interpretation der Wellenausbreitung
Wie nachfolgend gezeigt wird, kann der Lösungansatz laut Gleichung (5.81a)
bzw. (5.81b) einfach und plausibel interpretiert werden. (5.81a) als Zeitfunktion
ausgeschrieben lautet
u(x,t) = √ {
2 · R U a0 e −γx e jωt
} {{ }
a)
}
+ U b0 e γx e jωt
} {{ }
b)
(5.85)