Elektrische Energiesysteme - Power Electronics Systems Laboratory ...

130 7. Symmetrische Komponenten in Dreiphasensystemen
symmetrisch angenommen werden. Diese Annahme ist die entscheidende
Voraussetzung für das Verfahren der MG0 -Transformation.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
I R α β γ E R
⎝I S
⎠ = ⎝γ
α β⎠
· ⎝E S
⎠ (7.5)
I T β γ α E T
} {{ }
zykl. symmetr.
Unübersichtlich werden Mehrphasensysteme vor allem dann, wenn die
Systemmatrizen voll besetzt sind, d.h. jede Ausgangsgrösse von jedem Eingang
beeinflusst wird. Dies ist bei realen Netzen nicht der Fall, die Systemmatrizen
sind sehr schwach besetzt.
Nur wenn das Netz vollständig symmetrisch aufgebaut ist, kann es durch
ein einphasiges Ersatzschaltbild beschrieben werden. In einem Fehlerfall, wo
das System unsymmetrisch wird, ist dies nicht mehr möglich. Selbstverständlich
können die Auswirkungen einer beliebigen Unsymmetrie, z.B. eines
einpoligen Erdschlusses auf einer Leitung, mit den Verfahren der Netzwerkanalyse
durch Aufstellen und Lösen der Gleichungssysteme im dreiphasigen
Netz vollständig berechnet werden. Die Zusammenhänge zwischen den auslösenden
Ereignissen und den Ergebnissen anhand von Zahlenwerten allein
sind jedoch schwer nachvollziehbar. Mit der MG0 -Transformation wurde ein
Verfahren entwickelt, das eine systematische Analyse von unsymmetrischen
Betriebssituationen in dreiphasigen Netzen ermöglicht.
Die MG0-Transformation erlaubt es, ein dreiphasiges Drehstromnetz in
drei voneinander unabhängige einpolige Systeme, nämlich das Mit-, Gegenund
Nullsystem (MG0) zu zerlegen. Mathematisch betrachtet ist die Grundidee
des Verfahrens die Transformation der realen Situation, die nach der gebräuchlichen
Bezeichnung der drei Leiter RST-System genannt wird, in einen
Bildbereich, das MG0-System. In diesem herrschen, da nur noch einphasige
Systeme vorkommen, übersichtlichere Verhältnisse, so dass das Problem
leichter gelöst werden kann. Anschliessend werden die Ergebnisse wieder in
das RST-System zurücktransformiert.
Die gewünschte Vereinfachung im Bildbereich gelingt mit Hilfe der Eigenvektoren
der Admittanzmatrix. Ein Vektor x heisst Eigenvektor einer
Matrix A, wenn gilt
A · x = λ · x (7.6)
mit einem skalaren Faktor, dem zum Eigenvektor gehörenden Eigenwert λ.
Der Vektor x ändert durch Multiplikation mit der Matrix also seine Richtung
nicht, sondern wird nur um den Faktor λ gestreckt. Eine weitere Eigenschaft
der Eigenvektoren ist, dass die Matrix A sich mit Hilfe der Transformationsmatrix
T, zusammengesetzt aus den Eigenvektoren von A, mit
D = T −1 AT (7.7)