Elektrische Energiesysteme - Power Electronics Systems Laboratory ...

132 7. Symmetrische Komponenten in Dreiphasensystemen
a
I
1 R a
a 2
1
a 2
Abbildung 7.2. Eigenvektoren einer zyklisch symmetrischen Matrix.
Diese beim Rechnen mit symmetrischen Komponenten besonders wichtige
Tatsache wird in Abbildung 7.2 graphisch veranschaulicht.
Entscheidend ist ausserdem, dass die Eigenvektoren in Tabelle 7.1 (im
Gegensatz zu den Eigenwerten) nicht von den einzelnen Elementen α, β
und γ der betrachteten Admittanzmatrix abhängen, sondern charakteristisch
sind für alle zyklisch symmetrischen Matrizen. Dadurch eignen sie
sich zum Rechnen in beliebigen Dreiphasensystemen.
Mit
⎛ ⎞
T = ( )
1 1 1
x M x G x 0 = ⎝a 2 a 1⎠ (7.11)
a a 2 1
ergibt sich die diagonale Admittanzmatrix
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
λ M 0 0 Y M 0 0
Y MG0 = T −1 Y T = ⎝ 0 λ G 0 ⎠ = ⎝ 0 Y G 0 ⎠ (7.12)
0 0 λ 0 0 0 Y 0
Daraus und aus Tabelle 7.1 ist ersichtlich, dass für β = γ die Mit- und die
Gegenadmittanz gleich sind.
Die zugehörigen Spannungsquellen- und Stromvektoren E MG0 , bzw. I MG0
des MG0-Systems können folgendermassen hergeleitet werden
I MG0 = Y MG0 E MG0 (7.13)
I MG0 = T −1 Y T E MG0 (7.14)
(
T I
MG0 ) = Y ( T E MG0) (7.15)
Daraus und aus (7.1) folgen die Beziehungen
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
I R I M
I = ⎝I S
⎠ = T ⎝I G
⎠ = T I MG0 (7.16)
I T I 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
E R E M
E = ⎝E S
⎠ = T ⎝E G
⎠ = T E MG0 (7.17)
E T E 0