Elektrische Energiesysteme - Power Electronics Systems Laboratory ...

96 5. Leitungen
5.4.6 Die Wellengleichung der verlustlosen Leitung
Einen Spezialfall stellt der Fall der verlustlosen Leitung dar. Da bei einer
Freileitung der induktive Widerstand überwiegt (für Spannungen ab ca.
R
130 kV gilt
ωL
0.1) und der Verlust durch den Ableitwiderstand verschwindend
kleine Werte annimmt, kann man als Vereinfachung die Energieübertragungsleitung
verlustlos modellieren:
R ′ = G ′ = 0 (5.101)
Diese Vernachlässigung von R ′ und G ′ hat selbstverständlich Auswirkungen
auf die Leitungsgleichungen, wie nachfolgend gezeigt wird.
Als Ausgangspunkt für unsere Berechnungen dienen folgende Gleichungen:
e γx + e −γx e γx − e −γx
U(x) = U 1 − Z W I 1
2
2
e γx + e −γx
I(x) = I 1 − U 1 e γx − e −γx
2 Z W 2
(5.102a)
(5.102b)
Dabei wird angenommen, dass die Werte von Strom und Spannung am Anfang
der Leitung bekannt sind. Die Wellenausbreitungskonstante γ wird bei
diesem Spezialfall rein imaginär:
γ = jω √ L ′ C ′ = jβ (5.103)
Die Wellenimpedanz ist im Spezialfall der verlustlosen Leitung rein reell 13
und berechnet sich zu
√
L ′
Z W =
C ′ (5.104)
Für die Sinus- und Cosinusfunktion gelten folgende Beziehungen:
sin (z) = ejz − e −jz
2j
cos (z) = ejz + e −jz
2
(5.105)
Wenden wir nun die Beziehungen aus Gleichung (5.105) auf die Gleichungen
(5.102a) bzw. (5.102b) an, so erhalten wir die Wellengleichungen für die
verlustlose Leitung.
U(x) = U 1 cos (βx) − jZ W I 1 sin (βx)
I(x) = I 1 cos (βx) − j U 1
Z W
sin (βx)
(5.106a)
(5.106b)
13 Man spricht in diesem Fall auch vom Wellenwiderstand.