L09: Termodinámica estadística del gas ideal

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L09: Termodinámica estadística del gas ideal Función de partición traslacional contínuo. Por lo tanto ∞ exp n=1 − h2 n 2 8ma 2 kBT ≈ ∞ ∞ (...) ≈ exp n=0 donde hemos usado ∞ 0 e−bx2 dx = π/4b. Finalmente 0 qtras(V, T ) = 2πmkBT − h2 n 2 8ma 2 kBT h 2 2πmkBT dn = h2 a, (16) 3/2 V, (17) donde hemos tenido en cuenta que a 3 = V es el volumen del recipiente. La función de partición traslacional, por lo tanto, depende linealmente del volumen y depende de la temperatura como una potencia T 3/2 . Esta dependencia es el origen de las propiedades más características del gas ideal, como vamos a ver de inmediato. Ecuación de estado del gas ideal: De todas las componentes de la función de partición molecular la traslacional es la única que depende del volumen, y su dependencia es lineal. Por lo tanto, la presión promedio del gas ideal será ∂ ln Q ∂ ln qtras p = kBT = ... = NkBT ∂V ∂V N,T N,T = NkBT V , (18) y el resultado es la ecuación de estado del gas ideal. Si n representa el número de moles y N = nNA, c○ V. Luaña 2003-2006 (273)
L09: Termodinámica estadística del gas ideal Función de partición traslacional donde NA es el número de Avogadro, la ecuación anterior conduce a pV = nNAkBT = nRT (19) que es la expresión más habitual de la ley. Vemos así de manera explícita la relación entre la constante de Boltzmann y la constante R de los gases: R = NAkB. Energía interna traslacional: En este caso, la traslacional no es la única contribución a la energía interna, pero sí es la única que podría depender del volumen. Sin embargo: 〈E〉 tras = N 〈ɛ〉 tras = kBT 2 ∂ ln Q ∂T = ... = 3 2 NkBT, (20) y, por lo tanto, la energía interna del gas ideal es una función que depende exclusivamente de la temperatura. Este es un comportamiento bien conocido en la termodinámica clásica, que nuestra formulación estadística nos permite recuperar. Principio de equipartición de la energía: Los tres grados de libertad traslacionales contribuyen con 3 2 kBT a la energía interna por partícula. Este resultado se puede generalizar a otros grados de libertad. Concretamente: Sea un sistema formado por un gran número de partículas independientes clásicas cuya energía molecular se expresa como suma de f términos cuadráticos. Cuando este sistema alcanza el equilibrio, la energía media por partícula es f veces 1 2 kBT . La demostración es sencilla. Si la energía es N,V ɛ = b1p 2 1 + b2p 2 2 + ... + bf p 2 f , (21) c○ V. Luaña 2003-2006 (274)
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