L09: Termodinámica estadística del gas ideal

L09: Termodinámica estadística del gas ideal Función de partición rotacional
comporta como una función contínua en todo el intervalo real [a, b]:
b
n=a
f(n) =
b
a
f(x)dx + 1
2
{f(a) + f(b)} +
∞
j=1
(−1) j B∗ j
(2j)!
f (2j−1) (a) − f (2j−1)
(b) , (61)
donde f k (a) es la derivada k-ésima en x = a, y los B ∗ j son los números de Bernoulli: B∗ 1 = 1/6,
B ∗ 2 = 1/30, B ∗ 3 = 1/42, B ∗ 4 = 1/30, B ∗ 5 = 5/66, B ∗ 6 = 691/2730, B ∗ 7 = 7/6, B ∗ 8 = 3617/510, ...
Aplicada al caso de la función de partición rotacional, la fórmula de Euler-MacLaurin conduce a:
qrot(T ) = T
1 + 1
θr
+
3 T
1
2 θr
+
15 T
4
3 θr
+
315 T
1
4
θr
+ ... .
315 T
(62)
θr
Bajo cualquiera de las expresiones 59, 60 y 62, podemos ver en la figura siguiente que qrot es una
función universal de la temperatura reducida Tr = T/θr. Para temperaturas suficientemente altas
(T > θr), la función de partición rotacional crece linealmente con Tr. En este régimen la integral
simple, ec. 60, es apropiada ya que, aunque difiere en una constante de la verdadera qrot, esta
diferencia desaparece al derivar para obtener las propiedades termodinámicas del gas. En el régimen
T < θr la función de partición crece como una potencia elevada de Tr. En estas circunstancias
la aproximación lineal no es válida, la aproximación de Euler-MacLaurin necesita cada vez más
términos a medida que la temperatura desciende, y la única forma válida de obtener qrot es realizar
directamente la suma sobre niveles, ec. 59.
c○ V. Luaña 2003-2006 (296)